回転運動 [Centripetal force] [被リンク数: 40]

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力学

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回転運動（かいてんうんどう）とは、物体の運動の向きとは垂直な方向に働く力によって引き起こされる運動である。特に円運動は向心力、すなわちある一点を中心として、物体に対し物体から中心へ向かう向きに働く力、が働くことにより引き起こされる。

とくに円運動は天体の運動の基本であり、ニコラウス・コペルニクスやヨハネス・ケプラーの地動説の基礎となった。円運動は地上でもしばしば観測される。たとえばひもにおもりをつけて振り回すと円軌道を描く。

向心力とは何か

物体をひもにつけて回転させると、物体には常に回転の中心を向く力が働く。力の大きさはひもの張力に比例するので、半径、すなわち物体と回転中心の間の距離によって一意的に決まり、方向によらない。このように、力が常に固定点の方向に向き、その大きさが固定点からの距離 r の関数である場合に、その力を向心力という。

固定点でなく、運動する 2 つの物体の間にはたらく力についても、力が物体相互を結ぶ方向を向き、その大きさが物体同士の距離の関数であるとき、やはり向心力という。天体どうしの万有引力はこの例である。

等速円運動

等速円運動の運動方程式

図 1-i のように物体が xy 平面上で原点 O を中心とする半径 r の円運動を行なうとする。

図のように回転角を θ とすれば、物体の x、y 座標は、

x = r\cos\theta

y = r\sin\theta

… (1-i)

となる。(1-i) 式を時間tで微分すると、

{dx \over dt} = -r\theta'\sin\theta,\ {dy \over dt} = r\theta'\cos\theta

… (1-ii)

が得られる。θ' のことを角速度という。θ' が一定な円運動を等速円運動という。この一定値を ω とすれば、

\theta'=\omega

から

\theta=\omega t+\alpha

（時間ｔについて積分している。α はいわゆる積分定数、物理で言う初期条件、この場合は初期位相）と書ける。(1-i)、(1-ii) より、

x=r\cos(\omega t+\alpha),\ y=r\sin(\omega t+\alpha)

… (1-iii)

x'=-r\omega\sin(\omega t+\alpha),\ y'=r\omega\cos(\omega t+\alpha)

… (1-iv)

となり、(1-iv) から物体の速さ v は x、y それぞれの速度成分を

v_x

v_y

とすると、

\begin{cases}v_x=-r\omega\sin(\omega t+\alpha)\\v_y= r\omega \cos(\omega t+\alpha) \end{cases}

… (1-v)

と表すことができ、

v^2=v_x^2+v_y^2

であるので、(1-v) より、

v^2=r^2\omega ^2

が得られる。したがって、vは次のようにあらわされる。

v=r\left| \omega \right|

… (1-vi)

(1-v) をさらに t で微分すると、

{d^2x \over dt^2} = -\omega^2x,\ {d^2y \over dt^2} = -\omega^2y

… (1-vii)

加速度 a は、

a^2=a_x^2+a_y^2

とあらわされるので、a と位置ベクトル r には次の関係が成り立つ。

a=-\omega^2r

… (1-viii)。

等速円運動の向心力

物体に働く力 F は、質量をm、加速度をaとすると、ニュートンの運動の第二法則により、

F=ma

と書けるので、(1-viii) からわかるように、物体には円（半径 r）の中心に向って大きさ

F=m\omega^2r

… (1-viii)

の力が働く。

等速円運動の物理

物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期 T といい、角速度をωとするとT は

T={2\pi \over \omega}

… (1-ix)

とあらわされる。また、単位時間当たりに回転する回数を回転速度(あるいは角振動数) f といい、f は

f={\omega \over 2\pi}

… (1-x)。

(1-ix) 式より、(1-x) 式は

f={1 \over T}

… (1-xi)

とあらわされる。

振動運動との対応

回転運動を回転面上の観測者が真横から見ると物体は単振動しているように見える。あるいは、物体のｘ座標とｙ座標は互いに位相が90度=π/２ずれた単振動を行っている。

振動運動では回転速度のことを周波数または振動数と呼ぶ。

かいてんうんとうかいてんうんとう

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出典:「フリー百科辞典ウィキペディア」(2009-01-01)

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